Théorème de Taylor-Lagrange :
Soient \(E,F\) deux espaces vectoriels normés, \(U\) un ouvert de \(E\) et \(a\in U\)
Soit \(h\in E\) tel que \([a,a+h]\subset U\) et \(f:U\to V\) \(k+1\) fois différentiable
Supposons que $$\exists M\gt 0,\quad\sup_{y\in[a,a+h]}\lVert d^{k+1}f(y)\rVert\leqslant M$$(la différentielle \(k+1\)-ième est bornée sur \([a,a+h]\))
Alors on a : $${{\left|\left|f(a+h)-f(a)-\sum^k_{i=1}\frac1{i!}d^if(a)(h^{(i)})\right|\right|}}\leqslant{{\frac{M}{(k+1)!}\lVert h\rVert^{k+1} }}$$
(Théorème des accroissements finis généralisé)
